Salah satu materi paling menarik dalam pelajaran matematika kelas 12 adalah induksi matematika. Pasalnya, penerapan materi ini ternyata cukup krusial dalam kehidupan sehari-hari. Bagi kamu yang sering mengambil uang di mesin ATM, pasti tidak pernah menyadari kalau matematika induksi diterapkan di dalam sistemnya.
Contoh penggunaan teori induksi dari matematika ini misalnya untuk mengetahui batas minimal pengambilan di ATM. Akan tetapi, kali ini kamu hanya akan mempelajari tentang bagaimana rumus dan penyelesaian soalnya saja. Sebelum itu, mari pahami dulu pengertian tentang matematika induksi.
Pengertian dan Prinsip Induksi Matematika
Materi ini dapat dijelaskan sebagai cara pembuktian sebuah pernyataan untuk setiap bilangan asli. Ini adalah metode baku yang digunakan dalam bidang matematika. Jadi selama masuk dalam kategori bilangan bulat yang masuk dalam himpunan kebenaran, itu dapat dibuktikan dengan induksi.
Jika diibaratkan seperti efek domino, apabila ada satu kartu di depan yang jatuh, maka semua domino akan jatuh. Begitu pula dengan sebuah bilangan, yang mana jika satu berhasil dibuktikan dengan penghitungan, maka semuanya harus bisa dibuktikan.
Prinsip dasar induksi adalah misalnya P(n) adalah suatu pernyataan tergantung pada nilai n, maka P(n) hanya akan terbukti benar bila memenuhi syarat:
- P(1) benar untuk n = 1, maka P(n) terbukti benar.
- Untuk bilangan asli k, jika P(k) adalah benar maka nilai P(k + 1) juga bernilai benar.
Sementara perluasan induksi adalah jika P(n) suatu pernyataan (tergantung pada nilai n), maka P(n) akan benar untuk setiap bilangan asli n โฅ m dengan syarat:
Jika P(m) benar untuk nilai n = m, maka P(n) juga benar.
Untuk setiap bilangan asli k โฅ m, apabila P(k) bernilai benar, maka berlaku juga untuk P(k + 1).
Cara Menyelesaikan Soal Induksi
Rumus matematika induksi mempunyai cara penyelesaian dasar yang mesti dilakukan untuk pembuktian kebenaran suatu pernyataan. Langkah pembuktiannya dibagi menjadi tiga, yaitu:
- untuk n=1,
- misalkan untuk n=k,
- akan dibuktikan untuk n=k+1.
Contoh soal: buktikan bahwa
(i) Untuk n = 1
)
(ii) misalkan untuk n=k
(iii) akan dibuktikan untuk n=k+1
…
Dari langkah-langkah (i), (ii) dan (iii), diperoleh
Contoh Soal yang Lebih Sulit
Yang barusan hanyalah contoh paling dasar dari penyelesaian sebuah persamaan induksi. Kamu tidak perlu membuktikan semua bilangan selama itu masuk dalam deret bilangan asli. Berikutnya coba kamu cermati pembahasan dari contoh soal yang lebih sulit berikut ini.
Contoh soal: buktikan bahwa.
(i) Untuk n = 1
(ii) misalkan untuk n=k
Kedua ruas ditambah (k+1)3
Penjelasan Efek Domino
Untuk langkah (i) pembuktian bahwa untuk n=1 adalah benar ini sangat mudah. Kamu cukup memasukkan nilai n=1 ke dalam persamaan, kemudian dihitung.
Kemudian di langkah (ii) untuk membuktikan bahwa n=k adalah benar, jika itu benar maka juga berlaku untuk n=k+1.
Pada langkah pertama Sn untuk n=1 sudah terbukti benar, yang artinya jika n diganti dengan 2, 3, 4, dan seterusnya sampai tak terhingga jawabannya juga benar.
Masih belum paham? Sekarang coba lihat lebih cermat lagi dan perlahan-lahan. Bayangkan bahwa penyelesaian persamaan di atas adalah dua premis pernyataan.
- Pertama, Sn benar untuk n=k, jika benar maka itu juga berlaku untuk n=k+1.
- Kedua, Sn terbukti benar untuk n=1.
Baik, dari kedua premis tersebut, maka dapat ditarik kesimpulan, sesuai dengan pengertian dari matematika induksi sendiri. Dikarenakan k=1, maka k+1 adalah 2. Dengan begitu, maka formula tersebut juga akan benar jika digunakan untuk n=2. Kesimpulan yang sama juga bisa digunakan untuk n=3 dan seterusnya.
Apabila proses tersebut terus berlanjut, maka kesimpulannya adalah Sn terbukti benar untuk semua penghitungan jika n adalah bilangan asli. Namun di suatu titik, ini harus berhenti dan mulai berpikir ulang. Itu dia mengapa induksi juga sering disebut sama dengan efek domino.
Kesimpulan
Belajar materi induksi itu gampang-gampang sulit, tergantung seberapa sering kamu mengerjakan latihan soal. Tentunya dengan tingkat kesulitan yang beragam, mulai dari yang mudah sampai soal paling sulit. Kuncinya adalah memahami konsep dasarnya dan menerapkannya ke semua soal.
Mulai belajar induksi matematika dan perbanyak latihan soal agar kamu benar-benar siap menghadapi ulangan, tes semester atau ujian akhir. Selamat mencoba!